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無理数の無理数乗は有理数になるか？ 具体例を考える

この記事は日曜数学アドベントカレンダー10日目の記事です

adventar.org

もともとは数学基礎論の一分野である逆数学の宣伝記事を書こうと思っていたのですが，イントロだけでもあまりに書くことが多かったのでそちらは諦めました．最近は日本語で読める解説書もあるので，逆数学の紹介はそちらに譲ることにします．

https://www.amazon.co.jp/逆数学-定理から公理を「証明」する-ジョン・スティルウェル/dp/4627054513

とはいえ全く紹介しないのも寂しいので少しだけ逆数学の宣伝を…

普通の数学では，ある公理系の下でどんな定理が証明できるのか，ということを考えます． 一方で，何かの定理があった時に「その仮定は本当に必要なの？ 必要ならどこで効いてくるの？」みたいに考えることもまたよくあることだと思います．逆数学では後者の考え方に焦点を当てて，「ある定理を証明するのにどれぐらいの公理が必要なのか」という問題を(適当な枠組みの下で)考えます．普通の数学が「公理→定理」という方向で証明するのに対し「定理→公理」という方向を考えていくので「逆」数学と呼ばれるわけです．このような作業の中で，一見関係のない別々のものにつながりを見出せたり，通常は明らかに正しいような公理が成り立たない世界を考えて破壊的な結果が得られるのがこの分野の魅力です．

上掲スティルウェル本ではユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の話など馴染みのある話題から始まっていて，逆数学のモチベーションがわかりやすいのではないかと思います．

逆数学の宣伝はこれぐらいにして，本題に移ります．

無理数の無理数乗は有理数になるか？

という有名な問題があります．すなわち， a^bが有理数となるような無理数の組(a,b)は存在するか？ ということですね． 結論から言うと存在します．おそらくその最も有名な証明は，(\sqrt 2,\sqrt 2)か(\sqrt 2 ^{\sqrt 2},\sqrt 2)のどちらかが条件を満たす，というものでしょう． もし(\sqrt 2,\sqrt 2)が条件を満たさないのであれば\sqrt 2 ^{\sqrt 2}は無理数なので，(\sqrt 2 ^{\sqrt 2},\sqrt 2)が条件を満たすことになります．この証明の面白いところは，(\sqrt 2,\sqrt 2)と(\sqrt 2 ^{\sqrt 2},\sqrt 2)のどちらが条件を満たすかはわからないが，少なくともどちらかが条件を満たすことはわかる，というところですね．

無理数の無理数乗は有理数になりうる…では，具体例は？

無理数の無理数乗が有理数になりうることがわかったら，次に気になるのはその具体例です．上記の証明は残念ながらその具体例を与えてくれません．\sqrt 2 ^{\sqrt 2}が無理数かどうかを考えればいい，ということはわかりますが，これは難しいです．ゲルフォント=シュナイダーの定理なるものによって無理数となることがわかるらしい*1ですが，筆者はこの定理の証明を知りません．

\sqrt 2 ^{\sqrt 2}を扱うのは難しい

であれば，もう少し簡単な例で具体的に与えられないかを考えてみましょう．\sqrt 2は扱いやすそうな無理数なので，とりあえず \sqrt 2のナントカ乗という形について考察をしていくことにします．無理数乗も扱いが大変なので，まずは \sqrt 2の有理数乗について考察していきましょう． すなわち \sqrt 2^{n/m} = y という式について考えます．ここで，mは0でない整数です.この式を整理すると 2^n = y^{2m}となりますが，素因数分解の一意性を考えれば，yは2でない素数にはなりえません．すなわち，y=3やy=5はありえないということですね．

\sqrt 2の有理数乗は3にならない

これはつまり，

\sqrt2 ^x = 3となるとき，xは無理数

ということです．これで無理数の無理数乗が有理数となる例を与えることができました*2．このままではxが結局なんだかよくわからないという気もするかもしれませんが，2\log_2 3と書いておけばよく見知った数に見えると思います*3．

まとめ

a^bが有理数となるような無理数の組(a,b)は存在するか？という問題に対しては簡単な議論で(a,b)=(\sqrt 2,2\log_2 3)という具体例を与えることができる，ということでした．\sqrt 2も2\log_2 3も簡単な議論で無理性が確認できるのが個人的にお気に入りです．

*1:実際には超越数であることまでわかるようです

*2:実際にはxの存在を示す必要がありますが，f(x)=2^{x/2}という関数を考えて中間値の定理を適用すれば良いです

*3:ただの見た目の問題ですが見た目が変わると印象も変わるので不思議です

Stoneの表現定理その4 Boole代数の同型

この記事は

ie50.hatenablog.com

の続きです．

今回は，Boole代数同士の同型の定義を与えます．その後，完備かつ原子的なBoole代数がベキ集合代数と同型であることを証明します．

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集合体だがσ集合体でないもの

この記事は反例 Advent Calendar 2018 - Adventarの6日目の記事です．

集合体ではあるがσ集合体でない例を示します． これは完備でないブール代数の例でもあります． ブール代数や完備ブール代数の定義はこの記事やこの記事を参照してください．

例1 位相空間の開かつ閉集合全体は集合体です．一方，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないので，一般にはσ集合体ではありません． 実際，次のように開かつ閉集合全体がσ集合体にならない位相を考えることができます．

\{0,1\}に離散位相を入れたものの直積空間 \{0,1\} ^\mathbb{N}を考える． \{0\} \times \{0\}\times \cdots \times \{0\} \times \{0,1\} \times \cdots は開かつ閉集合である． \{0 \} \times \{0\} \times \cdots はこれらの無限個の共通部分として得られるが，これは開集合でない．

例2 任意の集合Xについて， Xの有限または補有限な部分集合全体は集合体です． しかし， Xが無限集合であれば， \sigma集合体ではありません．

位相空間のコンパクト性の同値命題

自分向けのメモ

定理：位相空間がコンパクト \Leftrightarrow 有限交叉性を持つ閉集合族が共通部分を持つ．

[証明]

(\Rightarrow) Xを位相空間として， \mathscr{F} を閉集合族とする． \bigcap \mathscr{F} = \varnothingと仮定すると \bigcup_{F \in \mathscr{F}} F^c = X． Xはコンパクトなので，有限個の F_1 ,\ldots , F_n \in \mathscr{F}により F_1^c \cup \cdots \cup F_n^c = Xとなる． このとき F_1 \cap \cdots \cap F_n = \varnothingなので， \mathscr{F}は有限交叉性を持たない．

(\Leftarrow) \mathscr{U}を Xの開集合族として，その任意の有限部分が Xを被覆しないとする． このとき， \{ U^c : U \in \mathscr{U} \} は有限交叉性を持つ閉集合族なので，共通部分を持つ． したがって， \mathscr{U}は Xを被覆しない． q.e.d.