Stoneの表現定理その1 Boole代数

Boole代数の定義から始めて，Stoneの表現定理を証明します．今回はその第一回ということで，Boole代数を定義して簡単な性質を証明します．

定義
例
双対性
順序の導入
参考文献

定義

$B$ を集合として， $+,\cdot$ を $B$ 上の2項演算， $-$ をB上の1項演算， $0,1$ を $B$ の要素とします．これらの組 $\langle B,+,\cdot, - , 0, 1 \rangle$ が以下の条件を満たす時，この組をBoole代数といいます．

\begin{align} a + b &= b + a & a \cdot b & = b \cdot a \\ a+(b+c)&=(a+b)+c & (a \cdot b) \cdot c &= a \cdot (b \cdot c) \\ a\cdot(b+c) &= (a\cdot b) + (a \cdot c) & a+(b \cdot c) &= (a+b) \cdot ( a+c) \\ a + 0 &= a & a \cdot 1 &= a \\ a + (-a) &= 1 & a \cdot (-a) &= 0 \end{align}

$+,\cdot$ のことをそれぞれBoole和，Boole積と呼びます．Boole代数の話をしていることが明らかな時は単に和，積と呼ぶこともあります．また，Boole代数 $\langle B,+,\cdot, - , 0, 1 \rangle$ について，どの演算，定数によりBoole代数であるかが明らかな場合，単に $B$ のことをBoole代数と呼ぶことがあります．

以下，見慣れた記法にしたがって， $\cdot$ は $+$ より結合が強いとし，また $\cdot$ は省略して書くことにします．たとえば $ab+c$ は $(a \cdot b) +c$ を表します．

例

Boole代数のもっとも単純な例として，ベキ集合代数があります．

$X$ を集合として， $P(X)$ をそのベキ集合とします． $B = P(X)$ として， $a+b , a\cdot b, -a ,0 ,1$ をそれぞれ $a\cup b, a\cap b, a^c, \varnothing, X$ とみなせば，これらはBoole代数となります．

より一般に，集合体(有限加法族/集合代数) $A \subseteq P(X)$ も同様の演算でBoole代数となります．

他にも， $B=\{0,1\}$ 上で \begin{align} 0 + x &= x & 1 + x &=1 \\ 0 \cdot x &= 0 &1 \cdot x &= x\\ -x &\neq x \end{align}

とすればこれもBoole代数です．

他にもBoole代数の例はたくさんありますが，実は任意のBoole代数は，ある集合代数と同型になります．これをStoneの表現定理と言います．一連の記事で，最終的にこの定理を証明することを目標とします．

双対性

Boole代数の定義を見るとすぐにわかるのですが， $B$ をBoole代数とした時， $\cdot$ と $+$ ， $0$ と $1$ をそれぞれ入れ替えたものも再びBoole代数となります．したがって，和について成り立つ性質は積についても成り立つし，積について成り立つ性質は和についてもなりたつことになります． Boole代数について諸々の性質を証明する際に，この事実を使うと手間を減らせます．

順序の導入

Boole代数上に二項関係 $a \leq b$ を以下により導入します：

定義1 $a \leq b :\Leftrightarrow a+b=b$

Boole代数の諸性質を確認しつつ， $\leq$ が順序であることを示します．

命題2 $a+a = a, a\cdot a = a$

[証明] \begin{align} a&=a+0 \\ &= a+(a (-a)) \\ &= (a+a)(a+(-a)) \\ &= (a+a)\cdot 1 = a+a \end{align}

積については双対性から従う //

命題3 $a+1 =1, a \cdot 0 = 0$

[証明] \begin{align} a+1 &= a+ (a+(-a)) \\ &=(a+a) +(-a) \\ &= a+(-a) =1 \end{align}

積については双対性により成立 //

命題4 $a+b =b \Leftrightarrow ab=a$

[証明] $(\Rightarrow)$ \begin{align} ab &= a(a+b) \\ &=aa+ab \\ &=a+ab \\ &=a(1+b)\\ &=a \cdot 1 = a \end{align}

$(\Leftarrow)$ も同様 //

定義1と命題4から $a \leq b \Leftrightarrow a +b = b \Leftrightarrow ab =a$ となります．

定理5 $\leq$ は $0$ を最小元， $1$ を最大元とする順序

[証明] 反射性は命題1から従う．

反対称性： $a \leq b$ かつ $b \leq a$ とする．このとき， $a+b = b$ かつ $a+b = a$ なので $a=b$ ．

推移性： $a \leq b$ かつ $b \leq c$ とする．このとき， \begin{align} a+c & = a + (b+c) &(\because b \leq c) \\ &= (a+b)+c \\ &=b+c& (\because a \leq b) \\ &=c &(\because b \leq c) \end{align} より $a \leq c$ となる.