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位相空間のコンパクト性の同値命題

自分向けのメモ

定理：位相空間がコンパクト \Leftrightarrow 有限交叉性を持つ閉集合族が共通部分を持つ．

[証明]

(\Rightarrow) Xを位相空間として， \mathscr{F} を閉集合族とする． \bigcap \mathscr{F} = \varnothingと仮定すると \bigcup_{F \in \mathscr{F}} F^c = X． Xはコンパクトなので，有限個の F_1 ,\ldots , F_n \in \mathscr{F}により F_1^c \cup \cdots \cup F_n^c = Xとなる． このとき F_1 \cap \cdots \cap F_n = \varnothingなので， \mathscr{F}は有限交叉性を持たない．

(\Leftarrow) \mathscr{U}を Xの開集合族として，その任意の有限部分が Xを被覆しないとする． このとき， \{ U^c : U \in \mathscr{U} \} は有限交叉性を持つ閉集合族なので，共通部分を持つ． したがって， \mathscr{U}は Xを被覆しない． q.e.d.