Boole代数雑記 - お勉強の記録

自分あてのメモ

定理：Boole代数が無限であることと非単項超フィルターを持つことは同値

まず，以下の補題を示す．

補題1：atomic無限Boole代数のatomは無限に存在する

[証明] atomic Boole代数についてatomが有限であると仮定する．このとき，各 $b \in B$ は， $A_b =\{ a \leq b : a \text{ is an atom } \}$ とすると $b = \Sigma A_b$ を満たす．なぜなら， $b > \Sigma A_b$ とすると， $b- \Sigma A_b > 0$ より $b - \Sigma A_b \geq a$ なるatomが取れるからである．このとき $a \not \in A_b$ かつ $a \leq b$ となり矛盾．したがって $b \mapsto A_b$ という対応は単射なので， $B$ の濃度はatom全体の集合を $A$ としたとき， $\mathcal{P}(A)$ の濃度以下である． q.e.d.

[定理の証明] $B$ を有限とし， $F$ を $B$ の超フィルターとする． $F$ は有限のフィルターなので $\Pi F \in F$ であり， $F$ は $\Pi F$ により生成される．すなわち， $F$ は単項フィルター．

$B$ が無限であるとする．

$B$ がatomicであるとする．このとき， $A$ を $B$ のatom全体として， $-A = \{ -a : a \in A \}$ とする． $-A$ が有限交叉性を持つことを示す． $(-a_1) \cdots (-a_n) = -(a_1 + \cdots + a_n) =0$ とすると， $a_1 + \cdots + a_n=1$ となる．このとき，補題から $a_1 , \ldots, a_n$ と異なるatom $a$ をとることができるが， $a = 1a = (a_1 + \cdots + a_n)a =0$ となり矛盾．したがって， $-A$ は超フィルターへと拡大できるが，このフィルターはatomを含まないので単項でない．

また， $B$ がatomicでないとすると，ある $x$ について， $a \leq x$ なるatomは存在しない．このとき， $x$ から生成されるフィルターを拡大して得られる超フィルター $F$ は非単項である．なぜなら， $F$ がatom $a$ により生成されるとすると $a \leq x$ となり矛盾するからである． q.e.d.