Stoneの表現定理その3 フィルター

この記事は

ie50.hatenablog.com

の続きです．

前回は順序の性質について確認した後，原子を定義しました．

今回はフィルターという概念を導入し，その性質を確認します．

フィルターの定義
超フィルター
参考文献

以下， $B$ をBoole代数とします．

フィルターの定義

定義1.1 $\varnothing \neq F \subseteq B$ は以下の条件を満たす時に，フィルターと呼ばれる．

$0 \not \in F$
$\forall x \in F \ \forall y \in B\ (x \leq y \Rightarrow y \in F)$
$\forall x,y \in F (xy \in F)$

例

$a \gt 0$ に対して $F_a =\{ x \in B: a \leq x\}$ と定義すると $F_a$ はフィルターになる．このフィルターを $a$ の生成する単項フィルターという．また，単項フィルターでないフィルターを非単項フィルターという．

定義1.2 $X \subseteq B$ とする． $X$ の任意有限個の元の積が $0$ より大きい時， $X$ は有限交叉性*1を持つ，という．

定理1.3 $X$ が有限交叉性を持つ時， $X$ はフィルターへ拡大できる．

[証明] $X' = \{ x_1 \cdots x_n : x_1 ,\ldots , x_n \in X , n \geq 1\}$ として， $F=\{ y \in B: \exists x \in X' \ (x \leq y) \}$ とすれば， $F$ は $X$ を含むフィルターである．実際，次のようにして $F$ がフィルターであることが確かめられる．

$x \in F$ をとると，ある $x_1, \ldots , x_n$ があって， $x_1 \cdots x_n \leq x$ となる．したがって， $x \geq x_1 \cdots x_n >0$ である．
$x \in F , x \leq y$ とする． $x_1 \cdots x_n \leq x$ となる $x_i \in X$ たちをとれば， $x_1 \cdots x_n \leq x \leq y$ より $y \in F$ である．
$x,y \in F$ とする．このとき， $x_1 \cdots x_n \leq x ,y_1 \cdots y_n \leq y$ とすれば， $xy \geq x_1 \cdots x_n \cdot y_1 \cdots y_n$ より $xy \in F$ である． q.e.d.

超フィルター

定義2.1 Bのフィルター全体のなかで，包含関係について極大なものを極大フィルターという.

補題2.2 $\{F_i : i\in I\}$ をフィルターの集合として，包含関係について全順序であるとする．このとき， $F= \bigcup_i F_i$ もフィルターである．

[証明]

各 $F_i$ に $0$ は入らないので， $F$ にも $0$ は入らない．
$x \in F , x \leq y$ とする．このとき，ある $i$ について $x \in F_i$ かつ $x\leq y$ となるので， $y \in F_i$ となる．したがって， $y \in F$ ．
$x,y \in F$ とする．このとき，ある $i, j$ について $x \in F_i$ かつ $y \in F_j$ となる． $\{F_i : i\in I\}$ は全順序なので，一般性を失わず $F_i \subseteq F_j$ とできる．このとき， $x,y \in F_j$ となるので， $xy \in F_j$ ．したがって， $xy \in F$ である． q.e.d.

定理2.3 任意のフィルターは極大フィルターへと拡大できる．

[証明] $F \subseteq B$ をフィルターとする． $\mathcal{F}$ を， $F$ を含む $B$ のフィルター全体とする．この時，補題から $\mathcal{F}$ は包含関係について帰納的順序集合となるので，極大元を持つ．この極大元は，フィルター全体でも極大である q.e.d

定理1.3と定理2.3から，有限交叉性を持つ集合は極大フィルターへと拡大できることがわかります．

定義2.4 フィルター $F$ が， $\forall x \ (x \in F \text{または} -x \in F )$ を満たす時，超フィルターという．

定理2.5 フィルター $F$ が超フィルターであることと極大フィルターであることは同値である．

[証明] $F$ を超フィルターとする． $F'$ を $F$ より真に大きいフィルターとすると， $a\in F' \setminus F$ が取れる． $F$ は超フィルターなので， $-a \in F$ である．したがって， $a(-a)=0 \in F'$ となり， $F'$ がフィルターであることに反する．

逆に $F$ が超フィルターでないとする．このとき，ある $a$ について， $a, -a \not \in F$ である．まず，この $a$ について， $F \cup \{ a \}$ か $F \cup \{-a \}$ のどちらかは有限交叉性を持つを示す．もし，どちらも有限交叉性を持たないとすると，ある $x_1, \ldots , x_n , y_1, \ldots , y_m \in F$ があって， $x_1\cdots x_n \cdot a = y_1\cdots y_m \cdot (-a) =0$ とできる．このとき， $x_1\cdots x_n \cdot y_1\cdots y_m \cdot a = x_1\cdots x_n \cdot y_1\cdots y_m \cdot (-a) =0$ となるが， $x_1\cdots x_n \cdot y_1\cdots y_m \cdot (a+(-a)) = x_1\cdots x_n \cdot y_1\cdots y_m =0$ となり矛盾である．