集合体だがσ集合体でないもの
この記事は反例 Advent Calendar 2018 - Adventarの6日目の記事です．
集合体ではあるがσ集合体でない例を示します． これは完備でないブール代数の例でもあります． ブール代数や完備ブール代数の定義はこの記事やこの記事を参照してください．
例1 位相空間の開かつ閉集合全体は集合体です．一方，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないので，一般にはσ集合体ではありません． 実際，次のように開かつ閉集合全体がσ集合体にならない位相を考えることができます．
に離散位相を入れたものの直積空間
を考える．
は開かつ閉集合である．
はこれらの無限個の共通部分として得られるが，これは開集合でない．
例2 任意の集合について，
の有限または補有限な部分集合全体は集合体です．
しかし，
が無限集合であれば，
集合体ではありません．
