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Stoneの表現定理その2 Boole代数の原子

この記事は

ie50.hatenablog.com

の続きです．

前回はBoole代数を定義して，順序を導入しました．

今回は導入した順序を元にBoole代数の性質を確認し，Boole代数の原子を定義します．

順序の性質
Boole代数の原子
参考文献

順序の性質

命題1 $a+x =1$ & $ax =0 \Leftrightarrow x = -a$

[証明] $(\Leftarrow)$ は定義そのもの

$(\Rightarrow)$ $-a \leq x$ と $x \leq -a$ を示せば良い． \begin{align} x &= x + 0 \\ &= x + a(-a) \\ &= (x+a)(x+(-a)) \\ &= 1 \cdot (x+(-a)) = x+(-a) \end{align} より $-a \leq x$

\begin{align} x &= x\cdot 1 \\ &= x(a+(-a)) \\ &=ax +(-a)x \\ &= (-a)x \end{align} より $x \leq -a$ //

命題2 $-(-a)=a$

[証明] $-a +a =1, (-a)a =0$ と命題6より従う //

命題3

$a+b = \sup\{a,b\} , ab = \inf\{a,b\}$

[証明] $a+(a+b) = (a+a)+b =a+b$ より $a\leq a+b$ となる．同様に $b \leq a+b$ も成立． $x \geq a,b$ について， $x +(a+b) = (x+a)+b =x+b =x$ より $x \geq a+b$ となるので， $a+b$ は $\{a,b\}$ の最小上界

積については双対性から従う //

命題3は任意有限個の場合にも成り立ちます．すなわち， $a_1 + \cdots + a_n = \sup\{a_1 ,\ldots, a_n\} , a_1 \cdots a_n = \inf\{a_1 ,\ldots, a_n\}$ となります (証明は帰納法による)．一方で，無限個の元に対してはsupやinfが必ずしも存在するとは限らないので注意が必要です．

$\leq$ は演算を保ちます．すなわち，

命題4 $a\leq b \Rightarrow a+x \leq b+x , ax \leq bx$

[証明] $a+x + b+x =a+b+x = b+x$ より $a+x \leq b+x$ ．積についても同様 //

命題5 $-(a+b) =(-a)(-b) , -(ab)=(-a)+(-b)$

[証明] 命題1より， $(a+b)+(-a)(-b)=1, (a+b)(-a)(-b)=0$ を示せば良い．

$(a+b)+(-a)(-b) = ab +a(-b) + b +(-a)(-b) = ab + b + (-b) = 1$

$(a+b)(-a)(-b) = a(-a)(-b) + b(-a)(-b) = 0+0 =0$

より成立．

積についても同様である．//

命題5はDe Morganの法則と呼ばれる性質です．この性質は，次のように任意有限個の場合に一般化できます．

$-( a_1 + \cdots + a_n) = (-a_1) \cdots (-a_n) , -(a_1 \cdots a_n ) = (-a_1) + \cdots + (-a_n)$

順序は， $-$ をとると逆転します．すなわち，

命題6 $a \leq b \Leftrightarrow -b \leq -a$

[証明] $(\Rightarrow)$ $(-b)+(-a) = -( ab ) = -a$ より成立

$(\Leftarrow)$ は $(\Rightarrow)$ と $-(-a)=a$ より成立 //

定義7 $a(-b)$ を $a-b$ と表記する．

命題8 $a=b \Leftrightarrow (a-b)+(b-a) =0$

[証明] $(\Rightarrow)$ $a-a = a(-a) =0$ より成立

$(\Leftarrow)$ このとき， $a-b = b-a =0$ である．( $0$ の最小性と命題3より従う) $a = ab + a(-b) = ab + 0 = ab$ より $a \leq b$ ．同様に $b \leq a$ も成り立つので $a=b$ //

Boole代数の原子

定義9 $B \setminus \{0\}$ の極小元を原子(atom)という. また，任意の $0 \neq x \in B$ に対して， $a \leq x$ となるような原子 $a$ が存在するBoole代数を原子的なBoole代数という．

例

有限Boole代数は原子的．
ベキ集合代数 $P(X)$ は原子的．その原子全体は， $\{ \{x\} : x \in X \}$ となる．

命題10 $a$ を原子として， $a \not \leq x$ とする．このとき， $ax=0$

[証明] $ax \leq a$ なので， $ax = 0$ または $ax=a$ ． $ax = a$ とすると $a \leq x$ なので， $ax=0$ //

命題10の系として，異なる原子の積は $0$ であることがわかります

参考文献

Logic of Mathematics: A Modern Course of Classical Logic (著: Adamowicz , Zbierski)